Teoria Haosului. Fractali
Definitie
Numele de Teorie a Haosului vine de la faptul că în sistemele descrise de aceasta există o dezordine aparentă. Teoria haosului este un domeniu de studiu în matematică, fizică, economie și filozofie și se ocupă cu studierea comportamentului sistemelor dinamice care sunt foarte sensibile față de condițiile inițiale. Această sensibilitate mai este numită și efectul fluturelui[1]. Mici modificări ale condițiilor inițiale (cum ar fi rotunjirea numerelor cu care se lucrează) au ca efect rezultate haotice, făcând ca anticiparea efectelor pe termen lung să fie imposibilă. Acest lucru se întâmplă chiar dacă sistemele sunt deterministe, ceea ce înseamnă că comportamentul lor viitor este determinat în întregime de condițiile inițiale, fără intervenția altor elemente aleatorii. Cu alte cuvinte, natura deterministă a acestor sisteme nu le face predictibile. Acest comportament este cunoscut sub denumirea de “haos determinist”.
Introducere
Sistemele complexe sunt sistemele care conțin atât de multe elemente în mișcare încât e nevoie de un calculator care să calculeze toate posibilitățile de interacțiune. Acesta e motivul pentru care Teoria Haosului nu avea cum să apară înainte de sfârșitul secolului al XX-lea. Mai există un alt motiv pentru care această teorie a aparut atât de recent, acel motiv e Revoluția Mecanicii Cuantice și felul în care a terminat Era Deterministă.
Până la apariția mecanicii cuantice, oamenii credeau că fenomenele sunt cauzate de alte fenomene și că tot ce se duce în sus trebuie să vină în jos, și numai prin descoperirea și etichetarea fiecărei particule din Univers am putea să cunoaștem tot ce urma să se întâmple. Sisteme întregi de gândire au fost bazate pe această idee și din nefericire încă sunt.
Determinism si predictibilitate. Conditii. Modele.
Studiul fizicii dezvoltă capacitatea de a înţelege şi interpreta lumea înconjurătoare cu legile şi principiile ei.Fenomenul fizic,observat în natură sau provocat în laborator,reprezintă succesiunea de stări ale unui sistem fizic în momente succesive dintr-un interval de timp. Evoluţia fenomenelor fizice este dependentă de modoficările stărilor de mişcare sau de poziţie ale corpurilor din sistemul considerat. După observarea fenomenelor dintr-un sistem,se caută descrirea acestora cu ipoteze simplificatoare pe baza unui model,capabil să ofere observatorului o predicţie în limite rezonabile ale erorii,pentru a fi util în aplicaţii practice.În studiul fenomenelor,folosim concepte,noţiuni şi teorii deduse din experimente şi observaţii.
Permanenta observare şi măsurare cantitativă a fenomenelor fizice determină o rafinare a modelelor şi teoriilor utilizate,generând astfel noi informaţii.Din când în când,de-a lungul evoluţiei omenirii,au loc descoperiri esenţiale care determină o restructurare şi o generalizare a cunoştinţelor.Consecinţele acestor "străpungeri" teoretice sau experimentale sunt resimţite de întreaga societate prin modificări multiple socio-economice şi educaţionale.
O lege fizică este o afirmaţie cu caracter general,care descrie o relaţie de tip cauză-efect,observată,măsurată şi verificată prin experimente în laborator.
Un principiu este un adevăr fundamental care se impune deoarece nu este infirmat de nici un experiment.
Orice sistem liniar este modelat de o funcţie de gradul întâi,descrisă de o linie dreaptă,cu alte cuvinte,efectele sunt proporţionale cu cauzele.De exemplu:acceleraţiile sunt proporţionale cu forţele,intensităţile curenţilor din circuite sunt proporţionale cu tensiunile etc.
Determinismul este conceptul,introdus de I.Newton şi susţinut de Laplace,care susţine că putem determina starea unui sistem la un moment dat dacă se cunoaşte starea acestuia la un moment anterior,considerat iniţial,şi legea de evoluţie. Dacă sunt cunoscute condiţiile iniţiale şi legea de evoluţie,atunci evoluţia sistemului este determinată prin rezolvarea problemelor de mecanică.
Exemple: De ce au norii formele pe care le au?
Determinism si impredictibilitate. Comportamentul haotic. Conditii.
Sisteme a căror evoluţie în timp este deterministă ,dar impredictibilă
In natură şi tehnică există sisteme a căror eoluţie în timp este deterministă,dar impredictibilă:geometria norilor,forma şi frecvenţa de apariţie a fulgerelor,declanşarea cutremurelor,etc.Asemenea fenomene depind de cauze,dar,au evoluţia sensibilă la condiţiile iniţiale: o mică modificare nerepetitivă a cauzei(denivelare,frecare,interacţiune locaă,etc.)produce o mare modificare a efectului,deci repetarea identică a acestora este imposibilă.Mici fluctuaţii ale interacţiunilor locale schimbă comportarea sistemului considerat şi fac dificilă sau chiar imposibilă predicţia.
Un sistem sau proces cu evoluţie neliniară,adică în care efectul nu este proporţional cu cauza,este descris printr-un set de ecuaţii neliniare.
Teoria haosului se ocupă cu studiul sistemelor dinamice neliniare. Conceptul haos se asociază impredictibilităţii şi nu dezordinii.
În această fotografie avem ca exemplu de sistem impredictibil ,forma valurilor care se sparg când ajung spre mal.
Investigarea experimentaă a comportamentului haotic în sisteme fizice
Studiul unor siteme simple cu comportamentul haotic:
1.Căderea frunzelor şi a fulgilor sunt fenomene deterministe,dar impredictibile datorită fluctuaţiei interacţiunilor locale care schimbă necontrolat traiectoriile acestora.Forţele de frecare aleatorii fac imposibilă repetarea identică a unei evoluţii.
2.Să analizăm mişcarea prin aer a unui fulg plasat deasupra suprafeţei calde a unei plite.Mişcarea ascendentă de convecţie a aerului încălzit deasupra suprafeţei calde poate să imprime fulgului o mişcare ascendentă până la o înălţime la care forţa ascensională echilibrează forţa de greutate,apoi traiectoria fulgului devine un "dans" cu urcări şi coborâri,cu schimbări ale direcţiei de deplasare,impredictibile,diferite de fiecare dată la repetarea experimentului.
Evoluţia unor sisteme fizice concrete,întâlnite în practică,aflate departe de echilibru
Determinismul din mecanica clasică este rezultatul simplificărilor operate.În realitate,majoritatea sistemelor sunt neliniare şi nedeterministe,cu câteva cazuri particulare care pot fi considerate liniare.Metoda utilizată pentru descrierea fenomenelor fizice prin sisteme de ecuaţii liniare,pe care putem să le rezolvăm,ne permite să descriem doar aproximativ realitatea.În modele fizice introduse de Newton,Leibnitz şi Lapace,caracterul determinist al evoluţiei unui sistem fizic constă în faptul că starea viitoare a sistemului este univoc determinată de valorile variabilelor la un moment de timp(considerat iniţial) şi legea de evoluţie.
Cursul unui râu de munte este predictibil deoarece apa curge alegând drumul de minimă rezistenţă,dar traiectoriile moleculelor de apă sunt impredictibile. 
Descrierea comportamentului haotic. Spatiul fazelor. Atractori clasici si stranii.
Reprezentarea comportării unui sistem fizic sub formă geometrică se face în spațiul fazelor(sau spațiul stărilor).Spațiul stărilor poate avea orice număr de dimensiuni.Numărul dimensiunilor depinde de gradele de libertate ale sistemului fizic.Orice sistem dinamic este caracterizat prin starea sistemului și dinamica sa, care este o regulă ce descrie modul în care evoluează în timp starea sistemului.Un punct din spațiul stărilor poartă numele de fază.
Atractorii sunt forme geometrice ce caracterizează comportarea la distanță în spațiul fazelor.Altfel spus,atractorul stabilește comportarea unui sistem sau reprezintă acel ceva spre care este atras sistemul.
Cel mai simplu atractor este un punct fix.Un astfel de exemplu este pendulul simplu supus frecării.Indiferent de condițiile inițiale cu care aceasta începe să penduleze,el ajunge în repaus în același punct,care este chiar poziția sa de echilibru stabil.
Figurile desenate în spațiul fazelor care descriu comportamentul unui sistem se numesc portrete de fază.Mulțimea de puncte care evoluează spre un atractor formează bazinul de atracție.
Analizând un timp mai lung comportarea sistemelor complexe s-a observat că acestea tind spre un fel de echilibru dinamic care a căpătat numele de atractor straniu.În cazul unui atractor clasic sistemul tinde spre o stare de echilibru stabil,iar în cazul unui atractor straniu starea spre care tinde este tot de echilibru dar aceasta este într-o continuă schimbare.
Modelele dinamice ale haosului arată că multe sisteme sunt caracterizate prin atractori care au forme stranii.De exemplu atractorul Lorentz sau fluturele lui Lorentz are forma unui fluture și a devenit o imagine a atractorilor stranii.Atractorii stranii descriu miscări impredictibile și au o formă geometrică mai complicată.
Elemente de geometrie fractala.
Geometria fractală descrie caracteristicile dimensionale ale haosului.Fractalii au fost studiați între începutul anilor 1800 și până la sfârșitul anilor 1900.Matematicieni precum Sierpinski și Koch au început să studieze obiecte și curbe numite mai târziu fractali.Acestea nu erau netede ca cele uzuale.Ei au descoperit că atunci când neuniformitățile acestora au fost mărite,au apărut mai multe neuniformități din care unele respectau figura inițială iar celelalte erau noi.Această calitate de auto-similaritate este cea mai importantă caracteristică a fractalilor.Benoit Mandelbrot a fost cel care și-a dat seama că fractalii pot ajuta la înțelegerea mai clară și mai precisă a lucrurilor.El a descoperit tot mai multe aplicații ale geometriei fractalilor astfel că a înțeles că acești fractali nu sunt doar figuri generate de un computer ci sunt imagini care se întâlnesc peste tot în natură.
Fractalul este:
-conform lui B. Mandelbrot,o formă geometrică simplă sau un fragment din aceasta care poate fi divizat în mai multe părți,fiecare din acestea reprezentând o copie redusă a întregului;
-matematic,o mulțime de puncte a cărei dimensiune fractală depășește dimensiunea sa topologică;
Caracteristicile de bază ale fractalilor sunt:
-formele auto-similare;
-repetitivitatea;
Geometria Fractală este utilizată în studiul haosului ca un mijloc de analizare a formelor complexe din natură.Matematicienii folosesc geometria fractală pentru a măsura obiectele care în general sunt incomensurabile.De exemplu,dacă vreți să măsurați lungimea unei linii de coastă probabil nu veți obține o valoare exactă deoarece nu există o metodă de măsură care să țină cont de neregulitățile liniei de coastă.
Triunghiul lui Sierpinsk:figura de mai sus este formată dintr-o mulțime de triunghiuri echilaterale.Fiecare triunghi are la rândul său o structură similară formată tot din triunghiuri echilaterale.Detalierea triunghiurilor în structuri similare este nelimitată.Aceasta este proprietatea de auto-similaritate a unui fractal.
Fulgul de nea al lui Koch:este o curba inchisă formată din foarte multe regiuni de formă triunghiulară.Într-un triunghi echilateral împărțiți în 3 segmente egale fiecare latură apoi creati cu ajutorul segmentului din mijloc un triunghi echilateral cu lungimea segmentului.Faceți asta pentru fiecare latură nou obținută.Veți obține un fulg de nea care seamănă foarte mult cu iterația 5 din figura de mai sus.Aria fulgului de nea rămâne constantă în timp ce perimetrul său tinde la infinit.
Omul de zăpadă a lui Mandelbrot:dacă ați reusși să măriți figura de mai sus astfel încât să apară detaliile conturului acestuia ați observa ca figura are o structură care reproduce conturul din figura nemărită.
